Question

已知集合A={x|ax²-3x-4=0}．
（1）若A≠∅，求實數a的取值范圍；
（2）若B={-1，4}，且A⊆B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當A≠∅，則說明方程ax²-3x-4=0有實數根．分二次項系數為0和不為0討論．當a不為0，由A中至少有一個元素，知關于x的方程ax²-3x-4=0有實數根，由此能求出實數a的取值范圍．
（2）當a=0時，方程為-3x-4=0，集合A={-

4

3

}，不符合題意；當a≠0時，再就根的判別式的情況分△＜0，△=0，△＞0，討論，由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=0時，A={-

4

3

}≠∅即a=0符合題意；   …（2分）
當a≠0時，有△=9+16a≥0，解得a≥-

9

16

且 a≠0…（5分）
綜合得：a≥-

9

16

…（7分）
（2）由A⊆B={-1，4}知：
當a=0時，A={-

4

3

}?B，不合題意舍去；  …（8分）
當a≠0時，若△=9+16a＜0，即a＜-

9

16

時A=∅符合題意；…（10分）
若△=9+16a=0，A={-

8

3

}?B，不合題意，舍去；    …（12分）
若△=9+16a＞0，知-1，4為方程ax²-3x-4=0的兩個根，
所以 -1+4=

3

a

，即有 a=1…（14分）
綜合以上得：a＜-

9

16

或 a=1…（15分）

點評：本題考查集合的包含關系判斷及應用，考查分類討論思想．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．