Question

如圖，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，，點(diǎn)D是A₁B₁的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A₁C₁上，且DE⊥AE．

(1)證明：平面ADE⊥平面ACC₁A₁；

(2)求直線AD和平面ABC₁所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(I)由正三棱柱的性質(zhì)知平面， 　　又DE平面A1B1C1，所以DEAA1．(2分) 　　而DEAE，AA1AE＝A所以DE平面ACC1A1(4分) 　　又DE平面ADE，故平面ADE平面ACC1A1．(6分) 　　(2)設(shè)O為AC中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AA1＝，則AB＝2，則A(0，－1，0)，B(，0，0)，C1(0，1，)，D(，－，)(7分) 　　直線AD和平面ABC1所成角為，平面ABC1的法向量為n＝(x，y，z) 　　由＝(，1，0)，＝(0，2，)，＝(，－，) 　　有解得x＝－y，z＝－，故可取n＝(1，－，)(9分) 　　＜n·＞＝＝＝(11分) 　　所以，直線AD和平面ABC1所成角的正弦值為．(12分)