Question

已知函數f(x)=

a

3

x2+

b

2

x2-a2x(a＞0)．
（1）證明：f（x）必有兩個極值點；
（2）設x₁，x₂是f（x）兩個極值點且|x₁|+|x₂|=2，求a的取值范圍并求b的最大值；
（3）當a=3，b=4時，數列{a_n}滿足：a₁=e-1（e為自然對數的底數）且an+1an=f(an+1)+9an+1，an＞0(n∈N*)，求證：(a1+1)(a2+1)•…•(an+1)＜e2．

Answer 1

分析：（1）因為函數f(x)=

a

3

x2+

b

2

x2-a2x(a＞0)．對其進行求導，只要證明f′（x）=0，有兩個根即可；
（2）由（1）利用韋達定理得到兩個根的關系，根據|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|，代入得到b與a的關系，可以令b²=g（a）利用導數研究g（a）的最值問題；
（3）a=3，b=4時，代入f（x），由已知可得a_n+1a_n=

a

3 n+1

+2

a

2 n+2

，且a_n+1≠0，可以推出∴{ln（a_n+1）}是首項為1，公比為

1

2

的等比數列，求出a_n的通項，從而求解；

解答：解：（1）因為函數f(x)=

a

3

x2+

b

2

x2-a2x(a＞0)．
∴f′（x）=ax²+bx-a²，
∵

△=b2+4a2 a＞0

，∴△＞0，即f′（x）=0必有兩個根，
設為x₁，x₂，且x₁＜x₂，故有，
若f′（x）＞0，可得x＜x₁或x＞x₂，f（x）為增函數；
若f′（x）＜0，可得x₁＜x＜x₂，f（x）為減函數；
所以f（x）必有兩個極值點；
（2）由（1）知

x1+x2=- b a x1•x2=-a＜0

，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x2x2

=

b2 a2 +4a

=2，
∴b²=4a²-4a³，∴

4a2-4a3≥0 a＞0

⇒0＜a≤1，
設b²=g（a）=4a²-4a³，a∈（0，1]，
g′（a）=8a-12a²=4a（2-3a），由g′（a）＞0，0＜a＜

2

3

，由g′（a）＜0，
可得

2

3

＜a≤1，
∴g（a）_max=g（

2

3

）=

16

27

，∴b²≤

16

27

即|b|≤

4 3

9

即b_min=

4 3

9

；
（3）由已知得：a_n+1a_n=

a

3 n+1

+2

a

2 n+2

，且a_n+1≠0，
∴a_n=

a

2 n+2

+2a_n+1⇒a_n+1=（a_n+1+1）²，
又a_n+1＞0，所以ln（a_n+1+1）=

1

2

ln（a_n+1），ln（a₁+1）=1，
∴{ln（a_n+1）}是首項為1，公比為

1

2

的等比數列，故ln（a_n+1）=（

1

2

）^n-1，
∴a_n+1=e(

1

2

)n-1，
（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1）=e1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=e2-(

1

2

)n-1＜e²；

點評：利用導數求函數的極值問題，要注意極值點處的導數為0推出函數有極值；利用導數判斷函數的單調區間，導函數大于0求出單調遞增區間，導數小于0是遞減區間，第三問難度比較大，需要用到前一題的結論進行證明，是一道綜合性比較強的題；