Question

（2006•朝陽區一模）已知口袋中有大小相同的m個紅球和n個白球，m≥n≥2，從袋中任意取出兩個球．
（Ⅰ）若m=4，n=3，求取出的兩個球中至少有一個紅球的概率；
（Ⅱ）設取出的兩球都是紅球的概率為p₁，取出的兩球恰是1紅1白的概率為p₂，且p₁=2p₂，求證：m=4n+1．

Answer 1

分析：（I）設取出的兩個球中有一個紅球為事件A，取出的兩個球中都為紅球為事件B，則取出的兩個中至少有一個紅球的概率為P(A+B)=P(A)+P(B)=

C 1 4 C 1 3

C 2 7

+

C 2 4

C 2 7

，運算求得結果．
（II）由已知得p1=

C 2 m

C 2 m+n

，p2=

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，又p₁=2p₂，可得

C

2 m

=2

C

1 m

C

1 n

，化簡得m²-m-4mn=0，即m=4n+1

解答：解：（I）設取出的兩個中有一個紅球為事件A，取出的兩個球中都為紅球為事件B，
則取出的兩個中至少有一個紅球的概率為P(A+B)=P(A)+P(B)=

C 1 4 C 1 3

C 2 7

+

C 2 4

C 2 7

=

4

7

+

2

7

=

6

7

．…（6分）
（II）由已知得p1=

C 2 m

C 2 m+n

，p2=

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，又p₁=2p₂，∴

C

2 m

=2

C

1 m

C

1 n

，…（10分）
∴

m(m-1)

2

=2mn，即m²-m-4mn=0．∴m=4n+1．…（13分）

點評：本題主要考查互斥事件的概率加法公式的應用，屬于基礎題．