Question

已知拋物線y²=4x，點F是拋物線的焦點，點M在拋物線上，O為坐標原點．
（1）當 

FM

•

OM

=4時，求點M的坐標；
（2）求 

| OM |

| FM |

的最大值；
（3）設點B（0，1），是否存在常數λ及定點H，使得 

BM

+2

FM

=λ

HM

恒成立？若存在，求出λ的值及點H的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的性質可得，F（1，0），設點M（x，y） （x≥0）由

FM

•

OM

=4  及點M滿足y²=4x可求x，y的值，進而可求M
（2）設點M（x，y），其中x≥0．，利用向量的數量積的性質可用x表示 

| OM |

| FM |

=

3 (x+1)2 + 2 x+1 +1

，利用換元法及二次函數性質可求
（3）設點M（x，y），其中x≥0．假設存在常數λ及定點H（x₁，y₁），使得

BM

+2

FM

=λ

HM

恒成立．則由

BM

+2

FM

=λ

HM

，得（x，y-1）+2（x-1，y）=λ（x-x₁，y-y₁），從而可求λ及x₁，y₁

解答：解：（1）由拋物線的性質可得，F（1，0），設點M（x，y）   （x≥0）
∵

FM

•

OM

=4∴x（x-1）+y²=4①又∵y²=4x②
①②聯立可得，x=1，y=±2     即M（1，2）或M（1，-2）
（2）設點M（x，y），其中x≥0.

| OM |

| FM |

  = 

x2+y2

(x-1)2+y2

  = 

x2+4x (x+1)2

  = 

-3 (x+1)2 + 2 x+1 +1

．
設t=

1

x+1

(0＜t≤1)，
則

| OM |

| FM |

  =  

-3t2+2t+1

  =  

-3(t- 1 3 )2+ 4 3

．
因為0＜t≤1，所以當t=

1

3

（即x=2）時，

| OM |

| FM |

取得最大值

2 3

3

．
（3）設點M（x，y），其中x≥0．
假設存在常數λ及定點H（x₁，y₁），使得

BM

+2

FM

=λ

HM

恒成立．
由

BM

+2

FM

=λ

HM

，
得（x，y-1）+2（x-1，y）=λ（x-x₁，y-y₁），解：拋物線y²=4x的焦點F的坐標是（1，0），設點M（x₀，y₀），其中x₀≥0．
因為

FM

=(x0-1，y0)，

OM

=(x0，y0)，
所以

FM

•

OM

=x0(x0-1)+

y

2 0

=

x

2 0

+3x0=4，
解得x₀=1，或x₀=-4（舍）．
因為y₀²=4x₀，所以y₀=±2，
即點M的坐標為（1，2），（1，-2）．
即

3x-2=λx-λx1  3y-1  =λy-λy1

整理得

(λ-3)x+2-λx1=0  (λ-3)y +  1 -λy1 =0 .

由x及y的任意性知λ=3，
所以x1=

2

3

，y1=

1

3

．
綜上，存在常數λ=3及定點H(

2

3

，

1

3

)，使得

BM

+2

FM

=λ

HM

恒成立．

點評：本題以拋物線的性質的應用為切入點，主要考查了平面向量的數量積的性質的應用，平面向量的基本運算，考查了考試的邏輯推理與運算的能力，具有一定的綜合性．