Question

已知P（x，y）為函數y=lnx圖象上一點，O為坐標原點，記直線OP的斜率為k=f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；     
（Ⅱ）求函數F（x）=x-f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數k=f（x）=

lnx

x

（x＞0），求導函數，令f′（x）＞0可得函數的單調增區間；令f′（x）＜0，可得函數的單調減區間；
（Ⅱ）F（x）=x-

lnx

x

，求導函數可得F′（x）=

x2-1+lnx

x2

，構造新函數h（x）=x²-1+lnx，確定h（x）在（0，+∞）為單調遞增函數，從而可求函數F（x）=x-f（x）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）k=f（x）=

lnx

x

（x＞0），求導函數可得f′（x）=

1-lnx

x2

令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜e；令f′（x）＜0，可得x＞e
∴f（x）在（0，e）單調遞增，（e，+∞）單調遞減．
（Ⅱ）F（x）=x-

lnx

x

，求導函數可得F′（x）=

x2-1+lnx

x2

設h（x）=x²-1+lnx，求導函數可得h′(x)=2x+

1

x

＞0(x＞0)------------------（5分）
∴h（x）在（0，+∞）為單調遞增函數．
∵h（1）=0，∴F'（1）=0，除了1之外，F（x）無其他零點，
∴當x=1時，F（1）=1為最小值．---------------（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，確定函數解析式是關鍵．