Question

【題目】如圖，已知橢圓： ，其左右焦點(diǎn)為、，過點(diǎn)的直線交橢圓于， 兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為， 的中垂線與軸和軸分別交于、兩點(diǎn)，且、、構(gòu)成等差數(shù)列．

（1）求橢圓的方程；

（2）記的面積為， （為原點(diǎn)）的面積為，試問：是否存在直線，使得？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為；（2）方程為.

【解析】試題分析：（1）第一問比較簡(jiǎn)單直接列一個(gè)方程組，解出a,b,c即可. (2)第二問首先需要設(shè)出直線的方程（），再利用和相似得到，化簡(jiǎn)這個(gè)方程需要點(diǎn)G和點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)G和點(diǎn)D的坐標(biāo)代入解關(guān)于k的方程即可.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>、、構(gòu)成等差數(shù)列，

所以，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以橢圓的方程為．

（2）假設(shè)存在直線，使得，顯然直線不能與， 軸垂直．

設(shè)方程為（），

將其代入，整理得，

設(shè)， ，所以，

故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，

設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，

解得，即．

∵和相似，且，則，，

∴，

整理得，因此， ，

所以存在直線，方程為．