Question

（1）求函數y=(

1

3

)x2-2x-1的值域和單調區間．
（2）已知-1≤x≤2，求函數f（x）=3+2•3^x+1-9^x的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）設函數y=(

1

3

)x2-2x-1=(

1

3

)t，t=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2，由此能求出函數y=(

1

3

)x2-2x-1的值域；在函數y=(

1

3

)x2-2x-1中，

1

3

＜1，t=x²-2x-1的對稱軸是x=1，由此能求出函數y=(

1

3

)x2-2x-1的單調區間．
（2）由-1≤x≤2，知

1

3

≤3x≤9，由f（x）=3+2•3^x+1-9=-（3^x-3）²+12，能求出函數f（x）=3+2•3^x+1-9^x的最大值和最小值．

解答：解：（1）設函數y=(

1

3

)x2-2x-1=(

1

3

)t，
t=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2，
∴函數y=(

1

3

)x2-2x-1的值域是（0，9]；
在函數y=(

1

3

)x2-2x-1中，
∵

1

3

＜1，t=x²-2x-1的對稱軸是x=1，增區間是[1，+∞），減區間是（-∞，1]，
∴函數y=(

1

3

)x2-2x-1的增區間是（-∞，1]，減區間是[1，+∞）．
（2）∵-1≤x≤2，∴

1

3

≤3x≤9，
∵f（x）=3+2•3^x+1-9^x
=3+6•3^x-（3^x）²
=-（3^x-3）²+12，
∴3^x=3時，f（x）取最大值12，
3^x=9時，f（x）取最小值-24．

點評：本題考查指數型復合函數的性質和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．