Question

已知函數（ 是自然對數的底數）的最小值為．

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）已知且，試解關于的不等式 ；

（Ⅲ）已知且.若存在實數，使得對任意的，都有，試求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當時，不等式的解為；當時，不等式的解為

（3）3

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）因為，所以，故，

因為函數的最小值為，所以．              3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.

當時，， 5分

故不等式可化為：，

即，           6分

得，

所以，當時，不等式的解為；

當時，不等式的解為．          8分

（Ⅲ）∵當且時，，

∴.

∴原命題等價轉化為:存在實數，使得不等式對任意恒成立.        10分

令.

∵，∴函數在為減函數.       11分

又∵，∴.          12分

∴要使得對，值恒存在，只須．     13分

∵，

且函數在為減函數，

∴滿足條件的最大整數的值為3．   14分

考點：函數與不等式

點評：主要是考查了函數與不等式的綜合運用，以及導數研究函數單調性的求解屬于中檔題。