Question

（本小題滿分12分）

已知函數 （是自然對數的底數，）.

（1）當時，求的單調區間；

 （2）若在區間上是增函數，求實數的取值范圍；

（3）證明對一切恒成立.

 

Answer 1

【答案】

（1）在區間上單調遞增，在區間上單調遞減。

（2）；（3）．

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的 運用。利用導數的符號判定函數單調性和利用單調性逆向求解參數的范圍，和不等式的證明。

（1）首先求解定義域和導數，然后令導數大于零，小于零得到單調區間。

（2）因為在區間上是增函數，則說明函數在給定區間的導函數恒大于等于零，利用分離參數的思想求解參數的取值范圍。

（3）利用第一問中函數的結論，令得，，那么所以在上為減函數，可得對于任意，都有，故有

，放縮法證明不等式。

解：（1）當時，，

       

         由，……………………………………………..4分

         所以，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減。

     （2），

由題意得當時，恒成立。

令，有，得，

所以的范圍是…………………………………………8分

（3）令得，，

所以在上為減函數，對于任意，都有，故有

即

即．                           ………12分