Question

過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，它們到直線x=-2的距離之和等于6，則這樣的直線（　　）

A．有且僅有一條

B．有且僅有兩條

C．有無窮多條

D．不存在

Answer 1

分析：利用分類討論、拋物線的通徑及其定義即可得出．

解答：解：由拋物線y²=4x得焦點(diǎn)F（1，0）．當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，把x=1代入拋物線方程可得y²=4，解得y=±2．
∴|AB|=4，∴點(diǎn)A（1，2），B（1，-2）到直線x=-1的距離之和=4，因此點(diǎn)A（1，2），B（1，-2）到直線x=-2的距離之和=6．
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，|AB|＞4，因此點(diǎn)A（1，2），B（1，-2）到直線x=-2的距離之和＞6．
故滿足條件的直線AB有且只有一條，及AB⊥x軸．
故選A．

點(diǎn)評：熟練掌握分類討論、拋物線的通徑及其定義等是解題的關(guān)鍵．