Question

方程x³-bx²+1=0有且僅有兩個不同零點，則b的值為（　　）

• A．

  3 4

  2

• B．

  3 2

  2

• C．

  3

  2

  3	2

• D．不確定

Answer 1

分析：題意可得，函數f（x）=x³-bx² 和直線y=-1 只有兩個交點，利用導數求得函數的極值f（0）=0，f（

2b

3

）=-

4

27

b³．令-

4

27

b³=-1，解得 b的值．

解答：解：∵方程x³-bx²+1=0有且僅有兩個不同零點，故函數f（x）=x³-bx² 和直線y=-1 只有兩個交點．
令f′（x）=3x²-2bx=0，可得 x=0，或 x=

2b

3

．
故當 x=0，或 x=

2b

3

時，函數f（x）取得極值．
而f（0）=0，f（

2b

3

）=

8

27

b³-

4

9

b³=-

4

27

b³．
令-

4

27

 b³=-1，解得 b=

3

2

3	2

，
故選C．

點評：本題主要考查函數的零點的定義，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．