Question

已知二次函數f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），f（0）=3；方程f（x）=0有兩個實根，且兩實根的平方和為10．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若關于x的方程f（x）-2m=0在區間[0，3]內有根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得：設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，
所以
根據題意可得：
所以函數的解析式為f（x）=x²-4x+3．
（2）根據二次函數的性質可得：f（x）在（0，2）為減函數，（2，3）為增函數，
∴f（x）_min=f（2）=-1，f（x）_max=f（0）=3．
∴f（x）∈[-1，3]．
由f（x）=2m
所以-1≤2m≤3，即，
實數m的取值范圍為．
分析：（1）由題意可得：設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，所以結合題意可得a=1，b=-4，c=3，進而得到函數的解析式．
（2）根據二次函數的性質可得：函數的單調性，結合方程f（x）=2m有解可得-1≤2m≤3，進而求出m的范圍．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握求函數解析式的方法，以及二次函數的有關性質．