Question

已知F₁（-1，0），F₂（1，0）是橢圓C的兩個焦點，A、B為過F₁的直線與橢圓的交點，且△F₂AB的周長為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）判斷是否為定值，若是求出這個值，若不是說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知，c=1，，由此可知橢圓方程為．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）當直線斜率不存在時，有x₁=x₂=-1，，，；直線斜率存在時，設直線方程為y=k（x+1）代入橢圓方程，并整理得：（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，然后由根與系數的關系能夠導出的值．
解答：解：（Ⅰ）由橢圓定義可知，，c=1
所以
所以橢圓方程為（5分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（1）當直線斜率不存在時，有x₁=x₂=-1（2），（3），（4）（6分）
（2）當直線斜率存在時，設直線方程為y=k（x+1）代入橢圓方程，并整理得：（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0（7分）
所以（或求出x₁，x₂的值）
所以==（12分）
所以（13分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．