Question

某自來(lái)水公司準(zhǔn)備修建一條飲水渠，其橫截面為如圖所示的等腰梯形，∠ABC=120°，
按照設(shè)計(jì)要求，其橫截面面積為平方米，為了使建造的水渠用料最省，橫截面的周
長(zhǎng)（梯形的底BC與兩腰長(zhǎng)的和）必須最小，設(shè)水渠深h米．
（Ⅰ）當(dāng)h為多少米時(shí)，用料最省？
（Ⅱ）如果水渠的深度設(shè)計(jì)在的范圍內(nèi)，求橫截面周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先利用解直角三角形知識(shí)求橫截面的周長(zhǎng)，再結(jié)合基本不等式求出周長(zhǎng)面積的最小值即可；
（Ⅱ）先利用函數(shù)單調(diào)性的定義探求（1）中周長(zhǎng)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合所給自變量的范圍即可求橫截面周長(zhǎng)的最小值．
解答：解：（Ⅰ）h，AD=BC+2×hcot60°=BC+，，
使得=．
設(shè)外周長(zhǎng)為l，則l=2AB+BC=，
當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，外周長(zhǎng)的最小值為，此時(shí)堤高h(yuǎn)為米；（8分）

（Ⅱ）．
解，l是h的增函數(shù)，
所以（米），（當(dāng)h=3時(shí)取得最小值）．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用、函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．