Question

某自來水公司準備修建一條飲水渠，其橫截面為如圖所示的等腰梯形，∠ABC=120°，
按照設計要求，其橫截面面積為平方米，為了使建造的水渠用料最省，橫截面的周
長（梯形的底BC與兩腰長的和）必須最小，設水渠深h米．
（Ⅰ）當h為多少米時，用料最省？
（Ⅱ）如果水渠的深度設計在的范圍內，求橫截面周長的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先利用解直角三角形知識求橫截面的周長，再結合基本不等式求出周長面積的最小值即可；
（Ⅱ）先利用函數單調性的定義探求（1）中周長函數的單調性，再結合所給自變量的范圍即可求橫截面周長的最小值．
解答：解：（Ⅰ）h，AD=BC+2×hcot60°=BC+，，
使得=．
設外周長為l，則l=2AB+BC=，
當時等號成立，外周長的最小值為，此時堤高h為米；（8分）

（Ⅱ）．
解，l是h的增函數，
所以（米），（當h=3時取得最小值）．（14分）
點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用、函數在實際問題中的應用等知識，屬于中檔題．