Question

有六根細木棒，其中較長的兩根分別為

3

a、

2

a，其余四根均為a，用它們搭成三棱錐，則其中兩條較長的棱所在的直線的夾角的余弦值為（　　）

• A．0
• B．

  6

  3

• C．0或

  6

  3

• D．以上都不對

Answer 1

分析：分類討論：當較長的兩條棱所在直線相交時，較長的兩條棱所在直線所成角為∠ABC；當較長的兩條棱所在直線異面時，可證CD⊥平面ABO，從而可得結論．

解答：解：當較長的兩條棱所在直線相交時，如圖所示：
不妨設AB=

3

a，BC=

2

a，AC=a，所以較長的兩條棱所在直線所成角為∠ABC，
由勾股定理可得：∠ACB=90°，所以cos∠ABC=

6

3

所以此時較長的兩條棱所在直線所成角的余弦值為：

6

3

當較長的兩條棱所在直線異面時，
不妨設AD=

3

a，BC=

2

a，則BA=AC=BD=DC=a，
取CD的中點為O，連接OA，OB，所以CD⊥OA，CD⊥OB，
所以CD⊥平面ABO，所以CD⊥AB，
所以此時較長的兩條棱所在直線所成角的余弦值為cos90°=0．
故選C．

點評：本題主要考查直線與直線的夾角問題，考查學生的空間想象能力與推理論證能力，解決的方法是平移直線或者判定線面垂直，此題屬于中檔題，