Question

各項均為正數的數列{a_n}的前n項和s_n，函數．（其中p，q均為常數，且p＞q＞0），當x=a₁時，函數f（x）取得極小值，點（a_n，2s_n）（n∈N^*）均在函數y=2px²-+f′（x）+q的圖象上（其中f′（x）是函數f（x）的導函數）．
（1）求a₁的值
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數f（x）進行求導，令其導數為0求得x，進而根據x變化時f'（x）和f（x）的變化情況確定函數f（x）的極小值．求得a₁．
（2）依題意可知y=+f'（x）+q=2px²+px-p，進而把點（a_n，2s_n）代入求得2S_n=2a_n²+a_n-1，進而利用a_n=s_n-s_n-1，求得數列的遞推式，整理求得a_n-a_n-1-=0推斷出數列為等差數列，利用等差數列通項公式求得a_n．
解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）=px-（p+q）+=
令f'（x）=0，得x=1或x=，
∵
當x變化時，f'（x）和f（x）的變化情況如下表：

所以f（x）處取得極小值，即a₁=1．
（2）依題意，y=+f'（x）+q=2px²+px-p，2S_n=2p•a_n²+p•a_n-p，
所以2a₁=2pa₁²+pa₁-p，由a₁=1求得p=1
∴2S_n=2a_n²+a_n-1
當n≥2時，2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1
兩式相減求得（a_n+a_n+1）（a_n-a_n-1-）=0，
∵a_n+a_n+1＞0，∴a_n-a_n-1-=0
∴數列{a_n}是以1為首項，為公差的等差數列，
∴a_n=1+（n-1）×=
點評：本題主要考查了數列與函數的綜合，涉及了函數的導數求極值，數列遞推式求通項公式等．考查了考試綜合分析問題和解決問題的能力．