Question

【題目】在平面直角坐標系中，圓C的方程為 （θ為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的單位長度，直線l的極坐標方程為ρcosθ+ρsinθ=m（m∈R）．
（I）當m=3時，判斷直線l與C的位置關系；
（Ⅱ）當C上有且只有一點到直線l的距離等于 時，求C上到直線l距離為2 的點的坐標．

Answer 1

【答案】解：（I）圓C的普通方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=2， ∴圓心坐標為（1，1），半徑r= ．
m=3時，直線l的直角坐標方程為x+y﹣3=0．
∴圓心C到直線l的距離d= = ＜r．
∴直線l與圓C相交．
（II）直線l的普通方程為x+y﹣m=0．
∵C上有且只有一點到直線l的距離等于 ，
∴直線l與圓C相離，且圓心到直線的距離為 ．
∴圓C上到直線l的距離等于2 的點在過圓心C（1，1）且與直線l平行的直線上．
∴過圓心C（1，1）且與直線l平行的直線的參數方程為： （t為參數）．
將： （t為參數）代入圓C的普通方程得t2=2，
∴t1= ，t2=﹣ ．
當t= 時， ，當t=﹣ 時， ．
∴C上到直線l距離為2 的點的坐標為（0，2），（2，0）
【解析】（I）將曲線方程化成直角坐標方程，計算圓心到直線的距離與圓的半徑比較大小得出結論；（II）由題意可知直線與圓相離，且圓心到直線l的距離為2 ，故到直線l的距離等于2 的點在過圓心且與直線l平行的直線上，求出此直線的參數方程代入圓的方程求出該點對應的參數，得出該點的坐標．