Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，△PAB與△PAD均是以A為直角頂點的等腰直角三角形，點F是PB的中點，點E是邊BC上的任意一點．
（1）求證：AF⊥EF；
（2）求二面角A﹣PC﹣B的平面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，△PAB與△PAD均是以A為直角頂點的等腰直角三角形，

∴PA⊥AD，PA⊥AB，又AD∩AB=A，AB⊥BC，

∴PA⊥平面ABCD，又BC面ABCD，∴PA⊥BC，

∵AB∩PA=A，∴BC⊥面PAB，

∴BC⊥AF，

∵△PAB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，F是PB中點，

∴AF⊥PB，

又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，

∵EF平面PBC，∴AF⊥EF

（2）解：以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，P為z軸，

建立空間直角坐標系，

設AB=1，則A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），P（0，0，1），

=（0，0，1）， =（1，1，0），

設平面APC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣1，0），

=（0，1，﹣1）， =（1，1，﹣1），

設平面PBC的法向量 =（a，b，c），

則 ，取b=1，得 =（0，1，1），

|cos＜ ＞|=| |= ，

∴＜ ＞=60°，又sin60°= ，

∴二面角A﹣PC﹣B的平面角的正弦值為 ．

【解析】（1）由已知得PA⊥AD，PA⊥AB，AB⊥BC，從而PA⊥BC，進而BC⊥面PAB，又AF⊥PB，由此能證明AF⊥EF．（2）以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，P為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的平面角的正弦值．
【考點精析】關于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關系，需要了解相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能得出正確答案．