Question

【題目】如圖，在幾何體P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四邊形ABCD為矩形，△PAB為正三角形，若AB=2，AD=1，E，F 分別為AC，BP中點．
（Ⅰ）求證EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求直線DP與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：因為E為AC中點，所以DB與AC交于點E． 因為E，F分別為AC，BP中點，所以EF是△BDP的中位線，
所以EF∥DP．
又DP平面PCD，EF平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
（Ⅱ）解：取AB中點O，連接PO，DO．

∵△PAB為正三角形，∴PO⊥AB，
又∵平面ABCD⊥平面PAB
∴PO⊥平面ABCD，∴DP在平面ABCD內的射影為DO，∠PDO為DP與平面ABCD所成角，
OP= ，DP= ，在Rt△DOP中，sin∠PDO= ，
∴直線DP與平面ABCD所成角的正弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）連結BD，則E為BD的中點，利用中位線定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；（Ⅱ）取AB中點O，連接PO，DO，得出PO⊥平面ABCD，于是，∠PDO為DP與平面ABCD所成角，求出OP，DP，得直線DP與平面ABCD所成角的正弦值．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．