Question

已知，
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）求函數f（x）的最大值，并求取得最大值時的x的值．

Answer 1

解：（1）由，
得2x+3-x²＞0，解得-1＜x＜3，
設t=2x+3-x²，
∵t=2x+3-x²在（-1，1]上單調增，在[1，3）上單調減，
而y=log₄t在R上單調增，
∴函數f（x）的增區間為（-1，1]，減區間為[1，3）．
（2）令t=2x+3-x²，x∈（-1，3），
則t=2x+3-x²=-（x-1）²+4≤4，
∴f（x）=≤log₄4=1，
∴當x=1時，f（x）取最大值1．
分析：（1）由，先求出其定義域，再利用復合函數的單調性的性質，能求出函數f（x）的單調區間．
（2）令t=2x+3-x²，x∈（-1，3），則t=2x+3-x²=-（x-1）²+4≤4，由此能求出函數f（x）的最大值，并求取得最大值時的x的值．
點評：本題考查對數函數的單調區間和最大值的求法，解題時要認真審題，注意換元法和配方法的合理運用．