Question

已知函數f（x）=

3

sin2x-2cos²x-1，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小值，及取最小值時x的值；
（2）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c且c=

3

，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的三角函數公式與輔助角公式，化簡得f（x）=2sin(2x-

π

6

)-2，根據正弦函數的最小值為-1，結合正弦函數的圖象可得當x=kπ-

π

6

（k∈Z）時，f（x）的最小值為-4；
（2）根據f（x）的解析式化簡f（C）=0，解出C=

π

3

．由sinB=2sinA利用正弦定理算出b=2a，再根據余弦定理
c²=a²+b²-2abcosC，列出關于a、b的方程，解之即可得出a、b的值．

解答：解：（1）f（x）=

3

sin2x-2cos²x-1=

3 sin2x-(2cos2x-1)-2

=

3 sin2x-cos2x-2=2(sin2xcos π 6 -cos2xsin π 6 )-2=2sin(2x- π 6 )-2

∴當sin（2x-

π

6

）=-1時，f（x）的最小值是-4，
此時2x-

π

6

=-

π

2

+2kπ（k∈Z），
解之得x=kπ-

π

6

（k∈Z）．
綜上所述，函數f（x）的最小值為-4，取最小值時x的值為x=kπ-

π

6

（k∈Z）；
（2）∵f（x）=2sin(2x-

π

6

)-2，
∴f（C）=

2sin(2C- π 6 )-2

=0，
解得sin(2C-

π

6

)=1．
∵0＜C＜π，可得-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，解得C=

π

3

．
又∵c=

3

，sinB=2sinA，結合正弦定理得b=2a，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
可得3=a²+（2a）²-2×a×2acos

π

3

化簡得a²=1，
解得a=1．由此可得a=1且b=2．

點評：本題給出三角函數的表達式，求函數的最小值與相應的x值，并依此解△ABC．著重考查了三角恒等變換、三角函數的圖象與性質、利用正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．