Question

等比數列{a_n}的公比為q，第8項是第2項與第5項的等差中項．
（1）求公比q；
（2）若{a_n}的前n項和為S_n，判斷S₃，S₉，S₆是否成等差數列，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題已知等比數列的公比為q，第8項是第2項與第5項的等差中項，故直接建立起關于公比的方程，通過解方程求公比即可．
（2）用首項與公比表示出S₃，S₉，S₆，直接驗證三者是否符合等差數列的性質即可．

解答：解：（1）由題可知，2a₈=a₂+a₅，
即2a₁q⁷=a₁q+a₁q⁴，
由于a₁q≠0，化簡得2q⁶=1+q³，即2q⁶-q³-1=0，
解得q³=1或q3=-

1

2

．所以q=1或q=-

3 4

2

．
（2）當q=1時，不能構成等差數列，當當q=-

3 4

2

即q3=-

1

2

時，三都可以構成等差數列，證明如下：
當q=1時，S₃=3a₁，S₉=9a₁，S₆=6a₁．
易知S₃，S₉，S₆不能構成等差數列．
當q=-

3 4

2

即q3=-

1

2

時，S3=

a1(1-q3)

1-q

=

a1

1-q

(1+

1

2

)=

3

2

•

a1

1-q

，S9=

a1(1-q9)

1-q

=

a1

1-q

[1-(-

1

2

)3]=

9

8

•

a1

1-q

，
S6=

a1(1-q6)

1-q

=

a1

1-q

[1-(-

1

2

)2]=

3

4

•

a1

1-q

．
驗證知S₃+S₆=2S₉，所以S₃，S₉，S₆能構成等差數列．

點評：本題考查等比數列的通項公式以及其前n項和公式以及等差數列的性質，屬于數列知識基本運用題，基礎題型，解答本題要注意式的靈活變形尤其是因式分解的技巧．