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等比數列{an}的公比為q,第8項是第2項與第5項的等差中項.
(1)求公比q;
(2)若{an}的前n項和為Sn,判斷S3,S9,S6是否成等差數列,并說明理由.
分析:(1)本題已知等比數列的公比為q,第8項是第2項與第5項的等差中項,故直接建立起關于公比的方程,通過解方程求公比即可.
(2)用首項與公比表示出S3,S9,S6,直接驗證三者是否符合等差數列的性質即可.
解答:解:(1)由題可知,2a8=a2+a5
即2a1q7=a1q+a1q4
由于a1q≠0,化簡得2q6=1+q3,即2q6-q3-1=0,
解得q3=1或q3=-
1
2
.所以q=1或q=-
34
2

(2)當q=1時,不能構成等差數列,當當q=-
34
2
q3=-
1
2
時,三都可以構成等差數列,證明如下:
當q=1時,S3=3a1,S9=9a1,S6=6a1
易知S3,S9,S6不能構成等差數列.
q=-
34
2
q3=-
1
2
時,S3=
a1(1-q3)
1-q
=
a1
1-q
(1+
1
2
)=
3
2
a1
1-q
S9=
a1(1-q9)
1-q
=
a1
1-q
[1-(-
1
2
)3]=
9
8
a1
1-q

S6=
a1(1-q6)
1-q
=
a1
1-q
[1-(-
1
2
)2]=
3
4
a1
1-q

驗證知S3+S6=2S9,所以S3,S9,S6能構成等差數列.
點評:本題考查等比數列的通項公式以及其前n項和公式以及等差數列的性質,屬于數列知識基本運用題,基礎題型,解答本題要注意式的靈活變形尤其是因式分解的技巧.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

如果一個數列的各項均為實數,且從第二項起開始,每一項的平方與它前一項的平方的差都是同一個常數,則稱該數列為等方差數列,這個常數叫做這個數列的公方差.
(1)若數列{bn}是等方差數列,b1=1,b2=3,求b7
(2)是否存在一個非常數數列的等差數列或等比數列,同時也是等方差數列?若存在,求出這個數列;若不存在,說明理由.
(3)若正項數列{an}是首項為2、公方差為4的等方差數列,數列{
1
an
}
的前n項和為Tn,是否存在正整數p,q,使不等式Tn
pn+q
-1
對一切n∈N*都成立?若存在,求出p,q的值;若不存在,說明理由.

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如果一個數列的各項均為實數,且從第二項起開始,每一項的平方與它前一項的平方的差都是同一個常數,則稱該數列為等方差數列,這個常數叫做這個數列的公方差.
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(2)是否存在一個非常數數列的等差數列或等比數列,同時也是等方差數列?若存在,求出這個數列;若不存在,說明理由.
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