Question

【題目】已知拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為．

（1）若，過(guò)點(diǎn), 的直線與拋物線相交于另一點(diǎn)，求的值；

（2）若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， ，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得的長(zhǎng)為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）時(shí) ， 的長(zhǎng)為定值．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得到焦點(diǎn)的距離為可得出，求出的方程，聯(lián)立拋物線，故而可得， ，即可得最后結(jié)果；（2）設(shè)出直線的方程為，設(shè) ，與拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理得， ，由，得，將， 代入可得的值，利用直線截圓所得弦長(zhǎng)公式得，故當(dāng)時(shí)滿足題意.

試題解析：（1）∵點(diǎn)，∴，解得，

故拋物線的方程為： ，當(dāng)時(shí)，，

∴的方程為，聯(lián)立可得， ，

又∵， ，∴．

（2）設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程可得，

設(shè) ，則， ，①

由得： ，

整理得，②

將①代入②解得，∴直線，

∵圓心到直線l的距離，∴，

顯然當(dāng)時(shí)， ， 的長(zhǎng)為定值．