Question

在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且 A為銳角，若f(A)=cos2

A

2

-sin2

A

2

+2

3

cos

A

2

sin

A

2

．
（Ⅰ） 求f（A）的取值范圍；
（Ⅱ） 若f(A)=

3

，c=2

3

b，求sinB的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用二倍角公式、兩角和的正弦函數化簡f（A）的表達式為一個角的一個三角函數的形式，根據A是三角形的內角，然后確定f（A）取值范圍；
（Ⅱ） 若f(A)=

3

，c=2

3

b，求出A的大小，利用正弦定理以及B，C的關系，求sinB的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(A)=2

3

sin(

π

2

-

A

2

)sin(π+

A

2

)+cos2(

π

2

-

A

2

)-cos2(π-

A

2

)=cos2

A

2

-sin2

A

2

+2

3

cos

A

2

sin

A

2

=

3

sinA+cosA，（2分）
=2sin(A+

π

6

)，（4分）
∵0＜A＜

π

2

，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

2π

3

，
∴f(

π

6

)＜f(A)≤f(

π

2

)，
∴f（A）的取值范圍是（1，2]．（6分）
（Ⅱ）∵f(A)=

3

，
∴sin(A+

π

6

)=

3

2

，
∵0＜A＜

π

2

，
∴A+

π

6

=

π

3

，即A=

π

6

，（8分）
∴B+C=

5

6

π，
∵c=2

3

b，∴sinC=2

3

sinB，（9分）
∴sin(

5

6

π-B)=2

3

sinB，（10分）
∴sin

5

6

πcosB-cos

5

6

πsinB=2

3

sinB，
∴3

3

sinB=cosB，（11分）
∵sin²B+cos²B=1，
∴sinB=

7

14

．（12分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，二倍角公式、兩角和的正弦函數的應用，注意三角形內角的應用，正弦定理的考查，常考題型．