Question

已知F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在一點M滿足，                                      
（Ⅰ）求a的最小值；
（Ⅱ）設，過橢圓的右頂點的直線l與橢圓交于點D（點D不同于點C），交y軸于點P（點P不同于坐標原點O），C直線AD與BC交于點Q.當a取最小值時，判斷是否為定值，并證明你的結論.

Answer 1

解：（Ⅰ）設點M的坐標為，
則，，
由，得 ①
又由點M在橢圓上，得，代入①，
得，即.
∴0≤≤，
∴0≤≤，,.
（Ⅱ）當a取最小值時，橢圓方程為，其右頂點為.
設直線，則點P的坐標為.
聯立直線CD和橢圓的方程有：，
由韋達定理有：，
設點Q的坐標為，直線BC的方程為：，A、Q、D三點共線，
則有，
又，故上式為，
將代入得：,
則，
即當a取最小值時，為定值1.