Question

求證：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．

Answer 1

證明：由于|x|＜1，n≥2，n∈N．
當(dāng)n=2時，（1+x）²+（1-x）²=2+2x²＜4=2²，當(dāng)n=2時成立
假設(shè)n=k時成立，即（1+x）^k+（1-x）^k＜2^k成立
當(dāng)n=k+1時，則：（1+x）^k+1+（1-x）^k+1=（1+x）^k×（1+x）+（1-x）^k×（1-x）=（1+x）^k+x（1+x）^k+（1-x）^k-x（1-x）^k＜2^k+x[（1+x）^k-（1-x）^k]
=2^k+x（2C_k¹x+2C_k³x³+…）=2^k+（2C_k¹+2C_k³+…）=2^k+2^k=2^k+1，
故當(dāng)n=k+1時，不等式也成立
綜上知：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N成立