Question

求證：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．

Answer 1

證明：由于|x|＜1，n≥2，n∈N．
當n=2時，（1+x）²+（1-x）²=2+2x²＜4=2²，當n=2時成立
假設n=k時成立，即（1+x）^k+（1-x）^k＜2^k成立
當n=k+1時，則：（1+x）^k+1+（1-x）^k+1=（1+x）^k×（1+x）+（1-x）^k×（1-x）=（1+x）^k+x（1+x）^k+（1-x）^k-x（1-x）^k＜2^k+x[（1+x）^k-（1-x）^k]
=2^k+x（2C_k¹x+2C_k³x³+…）=2^k+（2C_k¹+2C_k³+…）=2^k+2^k=2^k+1，
故當n=k+1時，不等式也成立
綜上知：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N成立
分析：用數學歸納法證明這個不等式，先驗證n=2時成立，再假設n=k時成立，證明n=k+1時成立即可
點評：本題考查用數學歸納法證明不等式，求解本問題的關鍵是掌握數學歸納法證明的原理，先證初始值成立，再假設n=k時成立，然后證n=k+1時成立．