Question

（2013•青島一模）已知數列{a_n} （n∈N^*）是首項為a，公比為q≠0的等比數列，S_n是數列{a_n} 的前n項和，已知12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數列．
（Ⅰ）當公比q取何值時，使得a₁，2a₇，3a₄成等差數列；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數列，結合等比數列的性質及求和公式可求q，然后代入檢驗即可
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求：na_3n-2=n(-

1

4

)n-1a，結合數列的通項的特點，考慮利用錯位相減求和即可

解答：解：（Ⅰ）由題意可知，a≠0
①當q=1時，則12s₃=36a，s₆=6a，s₁₂-s₆=6a，
此時不滿足條件12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數列；…（1分）
②當q≠1時，則12s3=

12a(1-q3)

1-q

，s₆=

a(1-q6)

1-q

s₁₂-s₆=

a(1-q12)-(1-q6)

1-q

由題意得：12×

a(1-q3)

1-q

[

a(1-q12)

1-q

-

a(1-q6)

1-q

]=[

a(1-q6)

1-q

]2
化簡整理得：（4q³+1）（3q³-1）（1-q³）（1-q⁶）=0
解得：q3=-

1

4

或q3=

1

3

或q=-1…（4分）
當q=-1時，a₁+3a₄=-2a，2a₇=2a，
∴a₁+3a₄≠2（2a₇），不滿足條件；
當q3=-

1

4

時，a1+3a4=a(1+3q3)=

a

4

，2(2a7)=4aq6=

a

4

，
即∴a₁+3a₄=2（2a₇），所以當q=-

3 2

2

時，滿足條件
當q3=

1

3

時，a1+3a4=a(1+3q3)=2a，2(2a7)=4aq6=

4a

9

∴a₁+3a₄≠2（2a₇），從而當q3=

1

3

時，不滿足條件
綜上，當q=-

3 2

2

時，使得a₁，2a₇，3a₄成等差數列．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：na_3n-2=n(-

1

4

)n-1a
所以Tn=a+2(-

1

4

)a+3×(-

1

4

)2a+…+(-

1

4

)n-1a…①
則-

1

4

Tn=-

1

4

a+2×(-

1

4

)2a+…+(n-1)•(-

1

4

)n-1a+n(-

1

4

)na…②
①-②得：

5

4

Tn=a+(-

1

4

)a+(-

1

4

)2a+(-

1

4

)3a+…+(-

1

4

)n-1a-n(-

1

4

)na
=

4a

5

-(n+

4

5

)(-

1

4

)na
所以T_n=

16a

25

-(

16

25

+

4n

5

)(-

1

4

)na．…（13分）

點評：本題主要考查了等比數列的求和公式及性質的應用，錯位相減求和方法的應用，體現了分類討論思想的應用