Question

設函數y=f（x）在（a，b）上的導函數為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導函數為f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，則稱函數f（x）在（a，b）上為“凸函數”．已知f(x)=

1

12

x4-

1

6

mx3-

3

2

x2．
（Ⅰ）若f（x）為區間（-1，3）上的“凸函數”，試確定實數m的值；
（Ⅱ）若當實數m滿足|m|≤2時，函數f（x）在（a，b）上總為“凸函數”，求b-a的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數在區間（-1，3）上為“凸函數”，所以f″（x）＜0，即對函數y=f（x）二次求導，轉化為不等式問題解決即可；
（Ⅱ）利用函數總為“凸函數”，即f″（x）＜0恒成立，轉化為不等式恒成立問題，討論解不等式即可．

解答：解：由函數f(x)=

1

12

x4-

1

6

mx3-

3

2

x2得，f″（x）=x²-mx-3（3分）
（Ⅰ）若f（x）為區間（-1，3）上的“凸函數”，則有f″（x）=x²-mx-3＜0在區間（-1，3）上恒成立，
由二次函數的圖象，當且僅當

f″(-1)=1+m-3≤0 f″(3)=9-3m-3≤0

，
即

m≤2 m≥2

?m=2．（7分）
（Ⅱ）當|m|≤2時，f″（x）=x²-mx-3＜0恒成立?當|m|≤2時，mx＞x²-3恒成立．（8分）
當x=0時，f″（x）=-3＜0顯然成立．（9分）
當x＞0，x-

3

x

＜m
∵m的最小值是-2．
∴x-

3

x

＜-2．
從而解得0＜x＜1（11分）
當x＜0，x-

3

x

＞m
∵m的最大值是2，∴x-

3

x

＞2，
從而解得-1＜x＜0．（13分）
綜上可得-1＜x＜1，從而（b-a）_max=1-（-1）=2（14分）

點評：本題考查函數的導數與不等式恒成立問題的解法，關鍵是要理解題目所給信息（新定義），考查知識遷移與轉化能力，屬于中檔題．