Question

如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且經(jīng)過點M（4，1）．直線l：y=x+m交橢圓于A，B兩不同的點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當|AB|=時，求m的值；
（3）若直線l不過點M，求證：直線MA，MB與x軸圍成一個等腰三角形．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓方程為
因為 所以a=2b
又橢圓過點M（4，1），所以解得
故橢圓方程為
（2）將y=x+m代入
5x²+8mx+4m²-20=0
|AB|===，得到m=±4
（3）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁和k₂，只要證明k₁+k₂=0
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則
=
分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=
因此MA，MB與x軸所圍成的三角形為等腰三角形
分析：（1）設(shè)橢圓方程為由 可得a，b之間的關(guān)系，再由橢圓過點M（4，1），代入橢圓方程可得a，b得另一個關(guān)系式，聯(lián)立可求
（2）將y=x+m代入，整理可得5x²+8mx+4m²-20=0，由|AB|==可求m
（3）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁和k₂，要證明直線MA，MB與x軸圍成一個等腰三角形．只要證明k₁+k₂=0即可
點評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，在處理直線與橢相交的位置關(guān)系的處理中，聯(lián)立方程是最常用的處理方法，根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用是處理此類問題的關(guān)鍵所在，