Question

【題目】如圖，函數(shù)與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上（點(diǎn)在第一象限），∥．記，梯形面積為．

（Ⅰ）求面積以為自變量的函數(shù)解析式；

（Ⅱ）若其中為常數(shù)且，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；（II）時， 的最大值為； 時， 的最大值為

【解析】試題分析：根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)C在拋物線上，求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用拋物線方程求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而借助梯形面積公式表示面積S，寫出定義域要求；對函數(shù)求導(dǎo)，注意定義域，對參數(shù)的不同情況進(jìn)行討論，求出面積的最大值.

試題解析：

（Ⅰ）依題意點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．

點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足方程，解得，

所以．

由點(diǎn)在第一象限，得．

所以關(guān)于的函數(shù)式為 ， ．

（Ⅱ）記，

令，得

① 若，即時， 與的變化情況如下：

	↗	極大值	↘

所以，當(dāng)時， 取得最大值，且最大值為

② 若，即時， 恒成立，

所以， 的最大值為．

綜上， 時， 的最大值為； 時， 的最大值為

．