Question

(1)已知|a|＜1,|b|＜1,求證:||＞1;

(2)求實數λ的取值范圍,使不等式||＞1對滿足|a|＜1,|b|＜1的一切實數a、b恒成立;

(3)已知|a|＜1,若||＜1,求b的取值范圍.

Answer 1

(1)證明:|1-ab|²-|a-b|²=1+a²b²-a²-b²=(a²-1)(b²-1).

∵|a|＜1,|b|＜1,∴a²-1＜0,b²-1＜0.

∴|1-ab|²-|a-b|²＞0.

∴|1-ab|＞|a-b|,＞1.

(2)解析:∵||＞1|1-abλ|²-|aλ-b|²=(a²λ²-1)(b²-1)＞0,

∵b²＜1,∴a²λ²-1＜0對于任意滿足|a|＜1的a恒成立.

當a=0時,a²λ²-1＜0成立;

當a≠0時,要使λ²＜對于任意滿足|a|＜1的a恒成立,而＞1,

∴|λ|≤1.故-1≤λ≤1.

(3)解析:||＜1()²＜1(a+b)²＜(1+ab)²a²+b²-1-a²b²＜0(a²-1)(b²-1)＜0.

∵|a|＜1,∴a²＜1.∴1-b²＞0,即-1＜b＜1.