Question

如圖a，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=BC=AD=1，E是底邊AD的中點，沿CE將△CDE折起，使A-CE-D是直二面角（如圖b）．在圖b中過D作DF⊥平面BCD，EF∥平面BCD．
①求證：DF?平面CDE；
②求點F到平面ACD的距離；
③求面ACE與面ACF所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：①先根據線面垂直判定定理可知BC⊥平面CDE，過E作EG⊥CD，垂足為G，則EG⊥平面BCD，根據DF⊥平面BCD，則DF∥EG，DF、EG共面，都在平面DEG中，從而DF?平面CDE．
②在四面體ACDF中，AE⊥平面CDF，設點F到平面ACD的距離為h，根據等體積法可求出h；
③以E為原點，EA、EC、ED所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求出平面ACF的一個法向量和面ACE的一個法向量，然后求出兩個法向量的夾角，從而求出面ACE與面ACF所成二面角的余弦值．
解答：解：①依題意DE⊥BC，CE⊥BC，
因為DE∩CE=E，
所以BC⊥平面CDE，過E作EG⊥CD，
垂足為G，則EG⊥平面BCD，
又因為DF⊥平面BCD，
所以DF∥EG，DF、EG共面，都在平面DEG中，
所以DF?平面CDE．
②在四面體ACDF中，AE⊥平面CDF，設點F到平面ACD的距離為h，
則，直接計算知，，AE=1，，，
從而，．
③以E為原點，EA、EC、ED所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A（1，0，0）、C（0，1，0）、，，，
設平面ACF的一個法向量為，
則，即，
所以取，面ACE的一個法向量為，
所以面ACE與面ACF所成二面角的余弦值．
點評：本題有折疊、建立四面體、建立空間直角坐標系等方式“構造空間圖形”，當然，構造的方式還有視圖等；求解的問題有線面關系、角度、距離等，其中③僅適合理科學生．對理科學生而言，②也可用向量法，在上述空間直角坐標系下，面ACD的一個單位法向量，根據數量積的幾何意義，．