Question

（本小題滿分12分）如圖，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D是BC的中點，AA₁=AB=1.

（I）求證：A₁C//平面AB₁D；

（II）求二面角B—AB₁—D的大小；

（III）求點C到平面AB₁D的距離.

 

Answer 1

【答案】

（I）空間直角坐標系D—xyz,

（II）（III）

【解析】

試題分析：建立空間直角坐標系D—xyz，如圖，

（1）證明：

連接A₁B，設A₁B∩AB₁ = E，連接DE.

設A₁A =" AB" = 1，

則

 …………………………3分

，

 ……………………………………4分

（2）解：， ，

設是平面AB₁D的法向量，則，

故；

同理，可求得平面AB₁B的法向量是 ……………………6分

設二面角B—AB₁—D的大小為θ，，

∴二面角B—AB₁—D的大小為 …………………………8分

（3）解由（II）得平面AB₁D的法向量為，

取其單位法向量

∴點C到平面AB₁D的距離

考點：線面平行的判定及二面角，點面距

點評：本題第二問還可作出平面角求解，第三問利用等體積法亦可求解