Question

已知B、C兩點在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上，且關于中心O對稱，焦點F₁和B點都在y軸的右側，

BC

•

BF

=0且|

BC

|=2|

BF

|，則雙曲線的離心率是（　　）

• A．2+

  5

• B．3+

  5

• C．

  2+ 5

• D．

  3+ 5

Answer 1

分析：由B、C兩點關于中心O對稱，|

BC

|=2|

BF

|，及

BC

•

BF

=0可判斷△OBF為等腰直角三角形，結合OF=c，可得B點坐標，代入構造關于e的方程，解方程可得答案．

解答：解：∵B、C兩點關于中心O對稱，|

BC

|=2|

BF

|，
∴BO=BF
又∵

BC

•

BF

=0
∴BC⊥BF
即△OBF為等腰直角三角形
故B點坐標為（

c

2

，

c

2

）
代入雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1得

c2

4a2

-

c2

4b2

=1
即

c2

4a2

-

c2

4(c2-a2)

=1
即e2-

e2

e2-1

=4
即e⁴-6e²+4=0
解得e²=3+

5

或e²=3-

5

（舍去）
∴e=

3+ 5

故選D

點評：本題考查的知識點是雙曲線的簡單性質，其中根據，|

BC

|=2|

BF

|，及

BC

•

BF

=0可判斷△OBF為等腰直角三角形，進而求出B點坐標是解答的關鍵．