Question

已知函數f(x)=(a-

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)e2x+x．（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在區間（-∞，0）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若在區間（0，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在曲線y=2ae^x下方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）f（x）在區間（-∞，0）上單調遞增?f'（x）=（2a-1）e^2x+1≥0在區間（-∞，0）上恒成立，通過分離參數，利用指數函數的單調性即可得出；
（II）令g(x)=f(x)-2aex=(a-

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)e2x-2aex+x，定義域為R．則在區間（0，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在曲線y=2ae^x下方?g（x）＜0在區間（0，+∞）上恒成立．利用導數研究函數g（x）的單調性，通過對a分類討論即可得出．

解答：解：（Ⅰ）f（x）在區間（-∞，0）上單調遞增，
則f'（x）=（2a-1）e^2x+1≥0在區間（-∞，0）上恒成立．                          
即1-2a≤

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e2x

，而當x∈（-∞，0）時，

1

e2x

＞1，故1-2a≤1．                  
∴a≥0．                                                                
（Ⅱ）令g(x)=f(x)-2aex=(a-

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2

)e2x-2aex+x，定義域為R．
在區間（0，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在曲線y=2ae^x下方等價于g（x）＜0在區間（0，+∞）上恒成立．
∵g'（x）=（2a-1）e^2x-2ae^x+1=（e^x-1）[（2a-1）e^x-1]，
①若a＞

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，令g'（x）=0，得極值點x₁=0，x2=ln

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2a-1

，
當x₂＞x₁=0，即

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＜a＜1時，在（x₂，+∞）上有g'（x）＞0，此時g（x）在區間（x₂，+∞）上是增函數，并且在該區間上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合題意；
當x₂≤x₁=0，即a≥1時，同理可知，g（x）在區間（0，+∞）上，
有g（x）∈（g（0），+∞），也不合題意；                                          
②若a≤

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，則有2a-1≤0，此時在區間（0，+∞）上恒有g'（x）＜0，從而g（x）在區間（0，+∞）上是減函數；
要使g（x）＜0在此區間上恒成立，只須滿足g(0)=-a-

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≤0⇒a≥-

1

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，
由此求得a的范圍是[-

1

2

，

1

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]．                                            
綜合①②可知，當a∈[-

1

2

，

1

2

]時，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ae^x下方．

點評：本題主要考查函數的基本性質、導數的概念、利用導數研究函數的單調性等基礎知識和基本方法，同時考查邏輯推理能力和分類討論的思想方法．