Question

已知點P（4，4），圓C：與橢圓E：有一個公共點A（3，1），F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，直線PF₁與圓C相切．

（1）求m的值與橢圓E的方程；

（2）設Q為橢圓E上的一個動點，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ） [－12，0]．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）點A代入圓C方程，

得．

∵m＜3，∴m＝1．       2分

圓C：．設直線P的斜率為k，

則PF1：，即．

∵直線P與圓C相切，∴．

解得．      4分

當k＝時，直線PF1與x軸的交點橫坐標為，不合題意，舍去．

當k＝時，直線PF1與x軸的交點橫坐標為－4，

∴c＝4．（－4，0），（4，0）． 

2a＝A＋A＝，，a2＝18，b2＝2．

橢圓E的方程為：．    7分

（Ⅱ），設Q（x，y），，

．   9分

∵，即，

而，∴－18≤6xy≤18．

則的取值范圍是[0，36]．

的取值范圍是[－6，6]．

∴的取值范圍是[－12，0]．  13分

考點：本題主要考查直線方程，直線與圓的位置關系，橢圓標準方程，向量的坐標運算，基本不等式的應用。

點評：中檔題，研究直線與圓的位置關系，半徑、弦長一半、圓心到直線的距離所構成的“特征三角形”是重點，考查知識覆蓋面廣，對考生計算能力、數形結合思想有較好考查。