Question

若方程x2+(

2

sin2θ)x+2cosθ=0（其中0＜θ＜π）的兩實根為α、β，數列1，

1

α

+

1

β

，（

1

α

+

1

β

)2，…的所有項的和為2-

2

，試求θ的值．

Answer 1

分析：由方程x2+(

2

sin2θ)x+2cosθ=0（其中0＜θ＜π）的兩實根為α、β，知△=(

2

sin2θ)2-4×2cosθ≥0，α+β=-

2

sin2θ，αβ=2cosθ，故

1

α

+

1

β

=-

2

sinθ，由此能求出θ的值．

解答：解：∵方程x2+(

2

sin2θ)x+2cosθ=0（其中0＜θ＜π）的兩實根為α、β，
∴△=(

2

sin2θ)2-4×2cosθ≥0（1）
α+β=-

2

sin2θ，αβ=2cosθ（4分）

1

α

+

1

β

=

α+β

αβ

=

- 2 sin2θ

2cosθ

=

- 2 •2sinθcosθ

2cosθ

=-

2

sinθ，
由已知|

1

α

+

1

β

|＜1∴|1-

2

sinθ|＜1即|sinθ|＜

2

2

而θ∈（0，π）∴0＜sinθ＜

2

2

…(2)（8分）

1

1-( 1 α + 1 β )

=2-

2

∴

1

1+ 2 sinθ

=2-

2

∴sinθ=

1

2

滿足（2）
∴θ=

π

6

或

5

6

π，且θ=

π

6

不滿足（1）
故θ=

5

6

π（12分）

點評：本題考查根與系數的關系，具體涉及到三角函數的恒等變換和基本性質，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．