Question

【題目】如圖，在四棱錐中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）已知點M是線段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求實數λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連結BD，由題意知四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，

∴△ABD為正三角形，

又∵AQ=QD，∴Q為AD的中點，∴AD⊥BQ，

∵△PAD是正三角形，Q為AD中點，

∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，

又∵PB平面PQB，∴AD⊥PB．

（2）解：連結AC，交BQ于N，連結MN，

∵AQ∥BC，∴ ，

∵PN∥平面MQB，PA平面PAC，

平面MQB∩平面PAC=MN，

∴根據線面平行的性質定理得MN∥PA，

∴ ，

綜上，得 ，∴MC=2PM，

∵MC=λPM，∴實數λ的值為2．

【解析】（1）連結BD，則△ABD為正三角形，從而AD⊥BQ，AD⊥PQ，進而AD⊥平面PQB，由此能證明AD⊥PB．（2）連結AC，交BQ于N，連結MN，由AQ∥BC，得 ，根據線面平行的性質定理得MN∥PA，由此能求出實數λ的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解空間中直線與直線之間的位置關系(相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點)，還要掌握直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)的相關知識才是答題的關鍵．