Question

圓錐的軸截面為等腰直角三角形SAB，Q為底面圓周上一點．
（Ⅰ）如果BQ的中點為C，OH⊥SC，求證：OH⊥平面SBQ；
（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=，求此圓錐的體積；
（Ⅲ）如果二面角A-SB-Q的大小為arctan，求∠AOQ的大小．

Answer 1

證明：（I）連接OC、AQ，
因為O為AB的中點，所以OC∥AQ．
因為AB為圓的直徑，所以∠AQB=90°，OC⊥BQ．
因為SO⊥平面ABQ，所以SO⊥BQ，所以QB⊥平面SOC，OH⊥BQ．又OH⊥SC，SC∩BQ=C，所以OH⊥平面SBQ．
解：（II）∵∠AOQ=60°
∴∠OBQ=∠OQB=30°
∵BQ=
∴AB=4，AQ=2，又SA⊥SB，SA=SB=
∴SO=OA=BO=2
∴V=．
（III）作QM⊥AB于點M，∵平面SAB⊥平面ABQ且平面SAB∩平面ABQ=AB
∴QM⊥平面SAB．
再作MP⊥SB于點P，連QP
∴QP⊥SB
∴∠MPQ為二面角A-SB-Q的平面角
∴∠MPQ=arctan．
∴MQ：MP=：3．
設OA=OB=R，∠AOQ=α
∴MQ=Rsinα，OM=Rcosα，MB=R（1+cosα），∠SBA=45°
∴MP=BP
∴MP=MB=R（1+cosα）
∴Rsinα：R（1+cosα）=：3．
∴
∴cot=
解得α=60°，∠AOQ=60°．
分析：（I）連接OC、AQ，由三角形中位線定理可得OC∥AQ，由圓周角定理我們可得OC⊥BQ，由圓錐的幾何特征，可得SO⊥BQ，進而由線面垂直的判定定理，得到QB⊥平面SOC，則OH⊥BQ，結合OH⊥SC及線面垂直的判定定理得到OH⊥平面SBQ；
（Ⅱ）若∠AOQ=60°，易得∠OBQ=∠OQB=30°，又由QB=，我們求出圓錐的底面半徑OA長及圓錐的高SO，代入圓錐體積公式，即可得到圓錐的體積；
（Ⅲ）作QM⊥AB于點M，由面面垂直的判定定理可得QM⊥平面SAB，作MP⊥SB于點P，連QP，則∠MPQ為二面角A-SB-Q的平面角，根據二面角A-SB-Q的大小為arctan，設OA=OB=R，∠AOQ=α，進而可求出∠AOQ的大小．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，圓錐的體積，直線與平面垂直的判定，其中（I）的關鍵是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直的相互轉化，（II）的關鍵是求出底面半徑及高，（III）的關鍵是確定∠MPQ為二面角A-SB-Q的平面角．