Question

已知：如圖，圓錐SO的軸截面是等腰直角三角形，其母線長為4a，A為底面圓周上一點，B是底面圓內一點，且OB⊥AB，C是SA的中點，D是O在SB上的射影．

　　

(Ⅰ)求證：OD⊥平面SAB；

(Ⅱ)設平面SOA和平面SAB所成的二面角為θ(0＜θ＜)，問能否確定θ，使得三棱錐C—SOD的體積最大？若能，求出體積的最大值和對應的θ；若不能，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明 由SO垂直于⊙O所在平面，AB在⊙O內，可得AB⊥SO． 　　∵AB⊥SO，AB⊥OB，OBOS＝O，∴AB⊥平面SOB． 　　而OD平面SOB， 　　∴OD⊥AB． 　　又OD⊥SB，SBAB＝B， 　　∴OD⊥平面SAB． 　　(2)解 由圓錐SO的軸截面是等腰直角三角形，得OS＝OA． 　　又C是SA的中點，∴OC⊥SA． 　　由OD⊥平面SAB，OC⊥SA，得DC⊥SA，∠OCD是平面SOA和平面SAB所成的二面角的平面角，則∠OCD＝θ． 　　又∵OC⊥SA，DC⊥SA，OCDC＝C， 　　∴SA⊥平面COD． 　　由題意知：△COD是Rt△，且． 　　故得：＝·SC＝OD·CD≤ ＝． 　　當且僅當OD＝CD＝a時，最大． 　　即存在θ＝，使得三棱錐C－SOD的體積最大，其體積的最大值為．