Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為、，線段的長為4.點(diǎn)在橢圓上且位于第一象限，過點(diǎn)，分別作，，直線，交于點(diǎn).

（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)先求出橢圓的方程，設(shè)直線的方程為.分別表示出直線與的方程，聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求出，進(jìn)而可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2 )聯(lián)立消去，整理得，求得.由，可得 ,結(jié)合即可求出的取值范圍.

（1）設(shè)直線的斜率為，，

由題意得，，

所以，，，

所以橢圓的方程為.

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，且位于第一象限，

所以，，直線的方程為.

因?yàn)?/span>，

所以，

所以直線的方程為.

聯(lián)立，解得，

即.

因?yàn)?/span>，所以，

則直線的方程為.

因?yàn)?/span>，所以.

則直線的方程為.

聯(lián)立，解得，

即.

因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，

所以，解得.

因?yàn)?/span>，

所以.將代入可得，

點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（2）設(shè)，，又直線的方程為.

聯(lián)立消去，整理得，

所以，

解得.

因?yàn)?/span>，

所以 .

因?yàn)?/span>，

所以.