Question

設(shè)在四邊形ABCD中，

AB

=

a

，

BC

=

b

，

CD

=

c

，

DA

=

d

，且

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

d

=

d

•

a

，問該四邊形ABCD是什么圖形．

Answer 1

分析：由題意，

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

d

=

d

•

a

，容易猜想：若數(shù)量積為0，則

a

⊥

b

，

b

⊥

c

，

c

⊥

d

，

d

⊥

a

.則四邊形ABCD是矩形，這里需要說明原因．

解答：如圖：四邊形ABCD中，

AB

=

a

，

BC

=

b

，

CD

=

c

， 

DA

=

d

，且   

a

•

b

= 

b

•

c

= 

c

•

d

= 

d

• 

a

，
得：(

a

-

c

)• 

b

 =0，所以，(

a

-

c

)⊥ 

b

 或

a

-

c

=

0

，顯然

a

≠ 

c

 即只有(

a

-

c

)⊥  

b

，同理，(

a

-

c

)⊥ 

d

，
所以：

b

∥

d

，
因為

b

，

d

不在同一直線上，所以BC∥AD，同理AB∥DC，四邊形ABCD是平行四邊形．
所以∠B+∠C=180°，
又

a

• 

b

=

b

•

c

，即|

a

|•|

b

|cosB=|

b

|• |

c

|cosC，由|

a

|=|

c

|得，cosB=cosC．
且B+C=180°，所以B=C=90°．所以平行四邊形是矩形．
故答案為：矩形．

點評：本題利用向量的數(shù)量積得0，判斷垂直，關(guān)鍵是條件

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

d

=

d

•

a

的變形和應(yīng)用．