Question

已知函數f（x）=asin（2x+

π

3

）+1（a＞0）的定義域為R，若當-

7π

12

≤x≤-

π

12

時，f（x）的最大值為2，（1）求a的值；
（2）用五點法作出函數在一個周期閉區間上的圖象．
（3）寫出該函數的對稱中心的坐標．

Answer 1

考點：五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象,y=Asin（ωx+φ）中參數的物理意義

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由x的范圍，求出2x+

π

3

的范圍，再根據函數的最大值，繼而求出a的值，
（2）列表描點連線即可
（3）根據正弦函數圖象與性質，令原題中三角函數中的角度等于kπ，解出x，即為對稱中心的橫坐標，又縱坐標為1，從而得到對稱中心坐標．

解答：解：（1）當-

7π

12

≤x≤-

π

12

時，則-

5π

6

≤2x+

π

3

≤

π

6

∴當2x+

π

3

=

π

6

，f（x）有最大值為

a

2

+1．
又∵f（x）的最大值為2，∴

a

2

+1=2，解得：a=2．
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1
令2x+

π

3

分別取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，則求出對應的x與y的值

x	- π 6	π 12	π 3	7π 12	5π 6
2x+ π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
y	1	3	-1	1	3

畫出函數在區間[-

π

6

，

5π

6

]的圖象如下圖


（3）f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1
令2x+

π

3

=kπ，k∈Z，解得x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
∴函數f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1
的對稱中心的橫坐標為

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
又∵函數f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1
的圖象是函數f（x）=2sin（2x+

π

3

）的圖象向上平移一個單位長度得到的，∴函數f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1
的對稱中心的縱坐標為1．
∴對稱中心坐標為（

kπ

2

-

π

6

，1）k∈Z

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，最值的應用，單調性的應用，考查邏輯思維能力，是基礎題