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已知{an}是公差為d的等差數列,它的前n項和為Sn,等比數列{bn}的前n項和為Tn,S4=2S2+4,
(1)求公差d的值;
(2)若對任意的n∈N*,都有Sn≥S8成立,求a1的取值范圍
(3)若,判別方程Sn+Tn=2009是否有解?說明理由.
【答案】分析:(1)由S4=2S2+4,知,由此能求出公差d的值;
(2)解法1:由an=a1+(n-1)d=n+a1-1,知,再由對任意的n∈N*,都有Sn≥S8,知,由此能求出a1的取值范圍.
解法2:由于等差數列{an}的公差d=1>0,Sn要取得最大值,必須有,由此能求出a1的取值范圍.
(3)由于等比數列{bn}滿足,所以方程Sn+Tn=2009轉化為:,由此推導出方程Sn+Tn=2009無解.
解答:解:(1)∵S4=2S2+4,∴(2分)
解得d=1(4分)
(2)解法1:an=a1+(n-1)d=n+a1-1(1分)

∵對任意的n∈N*,都有Sn≥S8,∴(4分)
∴-8≤a1≤-7
∴a1的取值范圍是[-8,-7](5分)
解法2:由于等差數列{an}的公差d=1>0,Sn要取得最大值,
必須有(1分)

求得-8≤a1≤-7(4分)
∴a1的取值范圍是[-8,-7](5分)

(3)由于等比數列{bn}滿足(1分)
(2分)
(3分)
則方程Sn+Tn=2009轉化為:(3分)
令:
由于
所以f(n)單調遞增(4分)
當1≤n≤63時,(5分)
當n≥64時,(6分)
綜合:方程Sn+Tn=2009無解.
點評:本題考查數列的性質 和應用,解題時要認真審題,仔細求解,通過一題多解不斷提高解題能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知{an}是公差為d的等差數列,{bn}是公比為q的等比數列
(1)若an=3n+1,是否存在m,n∈N*,有am+am+1=ak?請說明理由;
(2)若bn=aqn(a、q為常數,且aq≠0)對任意m存在k,有bm•bm+1=bk,試求a、q滿足的充要條件;
(3)若an=2n+1,bn=3n試確定所有的p,使數列{bn}中存在某個連續p項的和式數列中{an}的一項,請證明.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知{an}是公差為d的等差數列,{bn}是公比為q的等比數列.
(1)若an=3n+1,是否存在m、k∈N*,有am+am+1=ak?說明理由;
(2)找出所有數列{an}和{bn},使對一切n∈N*
an+1an
=bn
,并說明理由;
(3)若a1=5,d=4,b1=q=3,試確定所有的p,使數列{an}中存在某個連續p項的和是數列{bn}中的一項,請證明.

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科目:高中數學 來源: 題型:

8、已知{an}是公差為-2的等差數列,a1=12,是|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|=(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知{an}是公差為d的等差數列,它的前n項和為Sn,等比數列{bn}的前n項和為Tn,S4=2S2+4,b2=
1
9
T2=
4
9

(1)求公差d的值;
(2)若對任意的n∈N*,都有Sn≥S8成立,求a1的取值范圍;
(3)若a1=
1
2
,判別方程Sn+Tn=2010是否有解?說明理由.國.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知{an}是公差為d的等差數列,它的前n項和為Sn.等比數列{bn}的前n項和為Tn,且S4=2S2+4,b2=
1
9
T2=
4
9

(Ⅰ)求公差d的值;
(Ⅱ)若對任意的n∈N*,都有Sn≥S8成立,求a1的取值范圍;
(Ⅲ)若a1=
1
2
,判別方程Sn+Tn=55是否有解?并說明理由.

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