Question

（1）求（1+2x）⁷展開式中系數最大項；
（2）求（1-2x）⁷展開式中系數最大項．

Answer 1

（1）設第r+1項系數最大，則有

C r7 •2r≥ C r+17 •2r+1 C r7 •2r≥ C r-17 •2r-1

，
即

7! r!(7-r)! ≥2• 7! (r+1)!(6-r)! 2• 7! r!(7-r)! ≥ 7! (r-1)!(8-r)!

，
即

r+1≥2(7-r) 2(8-r)≥r

，
∴

13

3

≤r≤

16

3

且0≤r≤7，r∈Z，
∴r=5．
∴系數最大項為T₆=C₇⁵•2⁵•x⁵=672x⁵；
（2）展開式共有8項，系數最大項必為正項，
即在第一、三、五、七這四項中取得，
故系數最大項必在中間或偏右，
∴只需比較T₅和T₇兩項系數大小即可．
∵T₅=C₇⁴（-2）⁴x⁴=560x⁴，T₇=C₇⁶（-2）⁶x⁶=448x⁶，
∴系數最大的項是第五項為T₅=C₇⁴（-2）⁴x⁴=560x⁴．