Question

在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x²+y²-8x+14=0，若直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，

2

為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是

 

．

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心坐標與半徑r，由題意得到直線kx-y-2=0與圓C′：（x-4）²+y²=8有公共點，從而圓心到直線的距離d≤2

2

，利用點到直線的距離公式列出不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍．

解答：解：圓的方程x²+y²-8x+14=0化為標準方程為（x-4）²+y²=2，得到圓心C（4，0），半徑r=

2

，
∵直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，

2

為半徑的圓與圓C有公共點，
∴直線kx-y-2=0與圓C′：（x-4）²+y²=8有公共點，
∴圓心到直線的距離d≤2

2

，
即

|4k-2|

k2+1

≤2

2

，即2k²-4k-1≤0，
∴

2- 6

2

≤k≤

2+ 6

2

，
∴k的最大值是

2+ 6

2

．
故答案為：

2+ 6

2

．

點評：本題考查了直線與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，圓的標準方程，以及不等式的解法，解題的關鍵是將條件化為直線kx-y-2=0與圓C′：（x-4）²+y²=8有公共點．