Question

如圖，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=3,AA₁=4，M為AA₁的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側面經過棱CC₁到M的最短路線長為，設這條最短路線與CC₁的交點為N.求：

 

（1）該三棱柱的側面展開圖的對角線長；

（2）PC和NC的長；

（3）平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大小（用反三角函數表示）.

Answer 1

解：（1）正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側面展開圖是一個長為9，寬為4的矩形，其對角線的長為

（2）如圖，將側面BB₁C₁C繞棱CC₁旋轉120°使其與側面AA₁C₁C在同一平面上，點P運動到點P₁的位置，連結MP₁，則MP₁就是由點P沿棱柱側面經過棱CC₁到點M的最短路線.設PC=x，則P₁C=x.

在Rt△MAP₁中，由勾股定理得(3+x)²+2²=29.

解得x=2,PC=P₁C=2.

（3）如圖，連接PP₁，則PP₁就是平面NMP與平面ABC的交線.

作NH⊥PP₁于H，又CC₁⊥平面ABC，連結CH,

由三垂線定理得：CH⊥PP₁,

∴∠NHC就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角（銳角）.

在Rt△PHC中，∵∠PCH=∠PCP₁=60°,

∴CH=PC=1.在Rt△NCH中，

tan∠NHC=

故平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大小為arctan.